...над гнездом...

А.Ф.Лосев

Учение Платона о ЧИСЛЕ

Во-первых, выясняется, что число пронизывает у Платона решительно все бытие с начала до конца, сверху донизу. Уже тот первопринцип, о котором Платон трактует в VI кн. "Государства", Платон склонен рассматривать как Единое, то есть понимает его, в сущности, арифметически. Платоновский Ум представляет собой уже раздельность бытия, а всякая раздельность возможна только благодаря числу. Мировую душу Платон тоже понимал как самодвижное число. О космосе же и говорить нечего. У Платона он весь состоит только из математических определений. Число до такой степени пронизывает всю платоновскую действительность, что, можно сказать, она вся только и состоит из одних чисел. В дальнейшем мы убедимся, что эта числовая пронизанность не только всего неживого, но и всего живого у Платона, включая человека и общество, достигает такой исключительности и претендует на такую общезначимость, которая заставляет нас считать Платона безусловно отцом или прародителем кибернетики.

Необходимо к этому прибавить, что появление математического естествознания в XVII в., равно как и вся подготовительная работа к этому в эпоху Возрождения, только потому и были возможны, что на смену средневекового официального аристотелизма выступили платонизм и неоплатонизм. Но это требует особого историко-философского исследования. Мы не ошибемся, если назовем философию и эстетику Платона не просто объективным идеализмом, но и объективным количественным идеализмом.

Во-вторых, литература о платоновской теории чисел с полной ясностью обнаруживает, что Платон понимал число не просто как формальный результат простого арифметического счета. Единицы, входящие у него в каждое число, не просто им перечисляются, но еще и мыслятся определенным образом расположенными друг в отношении друга, определенным образом упорядоченными и представляющими собою то, что сейчас математики называют "упорядоченным", или, лучше сказать, "вполне упорядоченным множеством". Другими словами, сейчас нужно считать установленным, что каждое число Платон понимает как ту или иную структуру. Эту структуру Платон снимает как бы с самих вещей. Ведь каждая вещь обладает своей собственной формой, и форм этих бесконечное количество. Отвлекаясь от материального содержания вещи и оставляя только те точки, которые указывают на строение самой вещи, мы и получаем группу определенным образом расположенных точек; а эта группа точек и есть то, что Платон называет числом. Таким образом, в настоящее время установлено структурное понимание числа у Платона. О том, что это структурное понимание унаследовано им от пифагорейцев, тоже писали очень много⁵⁷.

В-третьих, современное платоноведение установило не просто смысловую природу числа у Платона, но и природу силовую, энергийную. Число у Платона не просто мыслится, не просто есть умственная абстракция и даже не просто самостоятельно существующий смысловой предмет, то есть не просто есть структура. Эта числовая структура активно определяет собою формы вещей; а ведь если вещь лишена формы, то она и вообще перестает существовать. Поэтому число у Платона есть то, что создает собою вещи и весь их распорядок. Число является как бы каким-то заряженным оружием, и заряженность эта есть заряженность бытием и самой действительностью. Именно здесь объективный, количественный идеализм Платона получает свое наибольшее заострение.

Наконец, в-четвертых, отсюда выясняется и подлинная эстетическая роль категорий числа у Платона. Когда мы выше говорили, что эстетический принцип у Платона представляет собой прежде всего слияние внутреннего и внешнего в одно нераздельное целое и что с этим соединяется у Платона также и слияние созерцательного с производственно-жизненным, то мы еще не знали тогда, что все это имеет отношение в первую очередь к числу. Теперь же мы можем констатировать, что у Платона в первую очередь именно число есть такое внутреннее основание вещей, которое проявляется в их внешнем состоянии и не только проявляется, но как раз даже создает, творит собой всю эту внешнюю стихию вещи. Получается, таким образом, что число, будучи в своей основе идеальной структурой и даже больше, чем идеальной, так как оно наряду со всем прочим создает собою и эту идеальную структуру вещи, в то же самое время оказывается и максимально внешним результатом этой идеальной структуры, чем-то максимально жизненным, чем-то таким, что необходимо называть производственным осуществлением вещи. Поэтому даже если бы у Платона и не было учения об идеях, то одно учение о числах уже создавало бы у него цельную и продуманную эстетическую систему. Число есть самое внутреннее и самое внешнее в вещах, но оно же есть и полное тождество внутреннего и внешнего, неустанно бурлящее все новыми и новыми числовыми энергиями – формами. А это и значит, что числовое бытие у Платона есть прежде всего бытие эстетическое.

http://www.philosophy.ru/library/losef/losev_plato_number.html

Действительно, ratio - исчислять, приводить к числам.

Числа - по сути не столько количества (от слова кол - единица),
сколько выражение порядка.

порядок бывает трех типов:
- следования (ординация);
- соположения (координация);
- подчинения (субординация).

Стало быть,
рационализм - установка и способность к
выявлению (через разборку-анализ) и производству
(через сборку-синтез) порядков.

Понятно, что рационализм антихоличен и потому сам по себе ущербен,
поскольку рационализация требует атомизации того, что упорядочивается,
включая жесткие фиксированные дихотомии типа объект-субъект,
являясь лишь компенсацией дополняющей его ущербности
субъективизма.

Данное обстоятельство выпукло проявляется в трех парадигмах числа:
- статико-эйдической (сущности статуарны и связаны внешним агентом);
- динамико-эйдической (сущности порождаются сперматическими логосами);
- конструктивисткой (сущности производятся субъектом).

Например, натуральный ряд может пониматься как:
- ряд вечных натур.чисел;
- ряд, исходящий из нуля, где каждое число переходит в следующее - поток логосов;
- ряд, сконстуированный человеком, его разумом.

При этом статус числа 0 оказывается совершенно различным -
во втором случае 0 надрационален и является первичным
сперматическим эйдосом - энергийным несущим пустым
местом, порождающим все порядки, но порядком
не являющееся.

Каждая из парадигм характерна для одной их трех каст -
браминов, кштариев, вайшью.

три типа математики

Это про сказку "Аленький цветочек" и ВОВ.
русский ум не русскому недоступен.

и немец перестает быть собой,
когда лезет наводить порядок, ибо
немец - тоже русский.

***
Sterne stehn hoch am Firmament.
Solche Nacht findet nie ein End.
Dieses Land wild und schön
und wir dürfen seine Herrlichkeit sehn.
Dieses Land wild und schön
und wir dürfen seine Herrlichkeit sehn.
продолжение

Каждому конечному подмножеству натурального ряда
соответствует семейство его бесконечных подмножеств из
кратных sN = {sk: k∈N} и степенных  s^N = {s^k: k∈N}, s∈N,
рядов, их линейных комбинаций, а также их дополнений,
объединений и пересечений, -- семейство, сопряженное
с данным конечным подмножеством.

Каждому подмножеству натурального ряда соответствует
дв.дробь из отрезка [0,1]: конечному подмножеству - конечная,
бесконечному - бесконечная или периодическая. Конечные
и периодические дв.дроби суть рациональные числа.
Бесконечная дробь - иррациональное число.

например, {1,2} соотв. дв.дробь 0,11 и рац.число 1/2+1/4=3/4,
а ряду {2,4,...,2^k,...} -- дв.дробь 0,01010001... и иррац.число
1/4+1/16+1/256+....=0,31..., четному ряду {2,4,6,..,2k,...} -
0,010101... и 1/4+1/16+1/64+...=1/3.


Вопрос:
существуют ли бесконечные подмножества натурального ряда,
не входящие ни в одно из сопряженных с конечными
подмножествами семейств?

Пусть T - топ.пространство, A - его область, -A = T-A - дополнение области A,
k(A) - ядро области A, c(A) - замыкание области A, b(A) - граница области A,
g_in(A) - внутренняя грань области A, g_ex(A) - внешняя грань области A.

Область открыта, если, и только если, она совпадает со своим ядром.
Область замкнута, если, и только если, она совпадает со своим замыканием.
Граница любой области замкнута.

Ядра обеих граней любой области пусты: k(g_in(A)) = k(g_ex(A)) = 0.
Но ядро границы может быть непустым: k(b(A)) >= 0.
В общем, k(A+B) >= k(A)+k(B).

Операторы ядра и замыкания дуальны,  c(-A) = -k(A),
также как пустая область 0 и само топ.пространство T,
полностью определяемое одним из операторов с аксиомами
k(k(A)) = k(A); k(A*B) = k(A)*k(B); k(A+B) >= k(A)+k(B); k(0) = 0; k(T) = T; k(A) <= A  для ядра и
c(c(A)) = c(A); c(A+B) = c(A)+c(B); c(A*B) <= c(A)*c(B); c(0) = 0; c(T) = T; A <= c(A) для замыкания.
Если область открыто-замкнута, данные операторы тождественны.

Тогда T = k(A) + b(A) + k(-A) = c(A) + k(-A) = k(A) + c(-A); 
b(A) = b(-A) = g_in(A) + g_ex(A) = c(A)*c(-A);  g_in(A) = g_ex(-A);  g_ex(A) = g_in(-A);
A = k(A) + g_in(A);  c(A) = A + g_ex(A) = k(A) + b(A); c(-A) = -k(A);
k(k(A)) = k(A); k(A*B) = k(A)*k(B); k(A+B) >= k(A)+k(B); c(0) = k(0) = 0;
c(c(A)) = c(A); c(A+B) = c(A)+c(B); c(A*B) <= c(A)*c(B); c(T) = k(T) = T;
k(A) <= A <= c(A).

Стало быть, в общем случае топология разбивает топ.пространство
относительно произвольной области A на три непересекающиеся области:
- ядро k(A) - твердое (необходимость) утверждение A,
- ядро дополнения k(-A) - твердое (необходимость) отрицание -A и
- границу b(A) - пересечение замыканий - возможность и утверждения, и отрицания.
Замыкания c(A) и c(-A) суть возможности утверждения и отрицания.

Основной закон: c(-A) = -k(A) - возможность отрицания есть отрицание необходимости.
Обратный закон: -c(A) = k(-A) - отрицание возможности есть необходимость отрицания.

Следовательно, логика, индуцированная топологией,
в общем случае 3-значна с нарушением закона исключенного третьего.
Здесь необходимость всегда не больше возможности и пространство связанно,
если границы всех его собственных областей непустые.

Если все границы пусты, логика становится 2-значной,
возможность всегда совпадает с необходимостью, всякая область
совпадает со своими ядром и замыканием, т.е. открыта-замкнута, и
пространство распадается на свои  элементы, т.е. абсолютно несвязанно.
Основной и обратный законы становятся одной тавтологией.
Что полностью соответствует идеалу Аристотеля.
и куда падает современность.

добавление:
Окрестность области A - область, ядро которой содержит область A:
если G - окрестность области A, то  A <= k(G) <= G.

Пограничная область области A - подобласть границы области A.

Любая окрестность пограничной области B области A пересекает область A и ее дополнение -A.
Действительно, если G - окрестность области B, то ядро k(G) пересекает обе грани области A, т.к. в противном случае ядро k(G) вместе с B должно было бы целиком находиться либо в k(A), либо в k(-A), что противоречит пограничности B. Стало быть, k(G) пересекает область A и ее дополнение -A.

Надядро sk(A) области A  - минимальная окрестность области A: A <= k(sk(A)) = sk(A)

замечание:
Топология и логика всегда опираются на пространство
с булевой алгеброй, которая, в свою очередь, является
дистрибутивной MV-алгеброй. Логический вывод есть движение
от посылок к следствию в логическом пространстве.
Интуиция же есть не "ползание" по его тропам,
но "визуальное" восприятие его горизонтов.
иногда с высоты орлиного полета.


Забвение Бытия у Аристотеля