az118 | Золотая спираль

Нас спрашивали о золотой спирали.

Отвечаем:

общее уравнение спирали на плоскости:

x(t) = r(t) sin t,
y(t) = r(t) cos t,

где r(t) - радиус спирали.

дабы спираль была золотой, ее радиус должен быть также золотым,
т.е. после каждой четверти оборота увеличиваться на φ r(t),
где φ = 0.6180... - золотое число:

r(t+π/2) = r(t) + φ r(t) = (1+φ)r(t) = α r(t), где α = 1+φ.

или при полном обороте r(t+2π) = α⁴ r(t) .

Тогда r(t+2πk) = α⁴^k r(t) или

r(t) = r(0) α⁴^{t / (2п)} .

если золотое приращение происходит при полном обороте, то

r(t) = r(0) α^{t / (2п)}

Очевидно, что при постоянной угловой скорости
спираль будет свертываться к нулю вечно, поскольку
число витков будет бесконечным. Действительно,
радиус растет экспоненциально, r(t) = r(0) e^ct , и
обращается в 0 при t = -∞.