...над гнездом...

ложь необходимо или возможно делает необходимое или возможное невозможным
и по сему антиэтична и антиэстетична в высшем смысле.

В системе P3 необходимое или возможное есть необходимое.

Следовательно, в  системе P3

истина необходимо делает  невозможное необходимым

и

ложь необходимо делает необходимое невозможным

Пусть A = < V, 0, + > - коммутативный моноид с законом поглощения:

x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+x = x+0 = x

такой, что существует обратимый оператор φ: V → V, индуцирующий
обобщенную mv-алгебру A(φ) = < V, 0, +, φ >:

x+φ0 = φ0, φ^-1(φx+y)+y = φ^-1(φy+x)+x.


Определим φ-дуальную к + операцию •_(φ)
x •_(φ) y = φ^-1(φx+φy) и константу 1 = φ^-10.

Тогда

0 = φ1, x •_(φ) φ^-1y + y = y •_(φ) φ^-1x + x,

x •_(φ) 0 = φ^-1(φx+φ0) = φ^-1φ0 = 0,
x •_(φ) 1 = φ^-1(φx+φφ^-10) = φ^-1(φx+0) = φ^-1φx = x,
x •_(φ) х = φ^-1(φx+φх) = φ^-1φx = x,

x •_(φ) y •_(φ) z = φ^-1(φx+φ(y •_(φ) z) ) =
= φ^-1(φx+φφ^-1(φy+φz) ) = φ^-1(φx+φy+φz) =
= x •_(φ) (y •_(φ) z) = (x •_(φ) y) •_(φ) z.

Поскольку одно из φ^kх имеет значение φ0,
в силу аксиомы x+φ0 = φ0 справедливы

закон исключения лишнего
x + φх +...+ φ^-1х = φ0

и закон несовместимости степеней
x •_(φ) φх •_(φ) ... •_(φ) φ^-1х = 0.

Действительно,
x •_(φ) φх •_(φ)...•_(φ) φ^-1х = φ^-1(x + φх +...+ φ^-1х) = φ^-1φ0 = 0,

Константы 0 и φ0 естественно интерпретировать
как невозможность и необходимость


В целом, оператор φ порождает на исходном моноиде A
семейство операций x •_(φ,k) y = x •_k y = φ^-k(φ^kx+φ^ky), для
которых справедливы тождества

x •_k φ^1-k0 = φ^-k(φ^kx+φ^kφ^1-k0) = φ^-k(φ^kx+φ0) = φ^-kφ0 = φ^1-k0,
x •_k φ^1-k1 = φ^-k(φ^kx+φ^kφ^1-kφ^-10) = φ^-k(φ^kx+0) = φ^-kφ^kx = x,
x •_k х = φ^-k(φ^kx+φ^kх) = φ^-kφ^kx = x,

x •_k y •_k z = x •_k (y •_k z) = (x •_k y) •_k z

закон исключения лишнего 
φ^kx + φ^k+1х +...+ φ^k-1х = φ0 

и закон инварианта цикла 
x •_k φх •_k ... •_k φ^-1х = φ^1-k0.

Исходная операция "+" соответствует •₀ 
и связана с константой необходимости  c = φ0: 
    "φ^-1x" эквивалентно "необходимо x"; 
операция •₁  -- с константой невозможности  0:  
    "φx" эквивалентно "невозможно x";
операция •₂  --  с константой возможности 1 = φ^-10: 
    "x" эквивалентно "возможно x".

В общем, операция •_k  связана с константой  φ^1-k0:

Очевидно, что φ0 и 1 = φ^-10 совпадают лишь при φ = φ^-1,
т.е. при |φ|=2. Тогда необходимо x+1 = x+φx = 1. Если |V|>2,
в V могут быть φ-неподвижные отличные от 1 элементы x = φx,
для которых x+φx = x, что невозможно в силу x+φx = 1. При
нечетном |V| хотя бы один такой элемент необходимо есть.
Стало быть, mv-алгебр с нечетным |V| и |φ|=2 не существует.

В общем, в mv-алгебре |V| кратно |φ|.

вот.

__________________________________________________

Примеры

Положим V = {0,c,1}

1. Система Лукасевича L3
0 - ложность, c - неопр., 1 - истинность 
┌───┬───────┬───┬───┬───────┐ 
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ 
├───┼───────┼───┼───┼───────┤ 
│ 0 │ 0 c 1 │ 1 │ 0 │ 0 0 0 │ 
│ с │ c c 1 │ с │ c │ 0 c c │ 
│ 1 │ 1 1 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 
└───┴───────┴───┴───┴───────┘ 
x•y = ~(~x+~y), 
~0=1, ~c=c, ~1=0, ~~x = x,
0+~0 = 1+~1 = 1, c+~c = c.

2. Система P3 
0 - невозможность, c - необходимость, 1 - возможность
┌───┬───────┬───┬───┬───────┬───┬───────┐ 
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ * │ 0 c 1 │ 
├───┼───────┼───┼───┼───────┼───┼───────┤ 
│ 0 │ 0 c 1 │ с │ 0 │ 0 0 0 │ 0 │ 0 0 1 │ 
│ с │ c c c │ 1 │ c │ 0 c c │ c │ 0 c 1 │ 
│ 1 │ 1 c 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 1 │ 1 1 1 │ 
└───┴───────┴───┴───┴───────┴───┴───────┘ 
x•y = ~~(~x+~y) = ~(~~x*~~y), 
x*y = ~(~~x+~~y) = ~~(~x•~y),
~0=~~1=c, ~c=~~0=1, ~1=~~c=0, ~~~x = x,
0+~0+~~0 = c+~c+~~c = 1+~1+~~1 = c,
0*~0*~~0 = c*~c*~~c = 1*~1*~~1 = 1.

Система L3 не является mv-алгеброй
поскольку не всегда x+~x = ~0.

В P3 не действуют законы
противоречия и исключенного третьего,
но  x+~x+~~x = ~0  и  x•~x•~~x = 0,
т.е.
необходимо чтобы было
невозможно или необходимо или возможно,
а четвертого нет,
и
невозможно чтобы было
невозможно и необходимо и возможно.

"~~x" эквивалентно "необходимо x", 
"~x" эквивалентно "невозможно x",
"x" эквивалентно "возможно x",

 ~(~~x) = x   и   ~~(~x) = x,  т.е.

невозможность необходимости есть возможность

и

необходимость невозможности есть возможность.


p.s.
Любая операция в многозначной системе представляется композицией
степеней отрицания-транспозиции и полноциклического отрицания.

Пусть T - топ.пространство, A - его область, -A = T-A - дополнение области A,
k(A) - ядро области A, c(A) - замыкание области A, b(A) - граница области A,
g_in(A) - внутренняя грань области A, g_ex(A) - внешняя грань области A.

Область открыта, если, и только если, она совпадает со своим ядром.
Область замкнута, если, и только если, она совпадает со своим замыканием.
Граница любой области замкнута.

Ядра обеих граней любой области пусты: k(g_in(A)) = k(g_ex(A)) = 0.
Но ядро границы может быть непустым: k(b(A)) >= 0.
В общем, k(A+B) >= k(A)+k(B).

Операторы ядра и замыкания дуальны,  c(-A) = -k(A),
также как пустая область 0 и само топ.пространство T,
полностью определяемое одним из операторов с аксиомами
k(k(A)) = k(A); k(A*B) = k(A)*k(B); k(A+B) >= k(A)+k(B); k(0) = 0; k(T) = T; k(A) <= A  для ядра и
c(c(A)) = c(A); c(A+B) = c(A)+c(B); c(A*B) <= c(A)*c(B); c(0) = 0; c(T) = T; A <= c(A) для замыкания.
Если область открыто-замкнута, данные операторы тождественны.

Тогда T = k(A) + b(A) + k(-A) = c(A) + k(-A) = k(A) + c(-A); 
b(A) = b(-A) = g_in(A) + g_ex(A) = c(A)*c(-A);  g_in(A) = g_ex(-A);  g_ex(A) = g_in(-A);
A = k(A) + g_in(A);  c(A) = A + g_ex(A) = k(A) + b(A); c(-A) = -k(A);
k(k(A)) = k(A); k(A*B) = k(A)*k(B); k(A+B) >= k(A)+k(B); c(0) = k(0) = 0;
c(c(A)) = c(A); c(A+B) = c(A)+c(B); c(A*B) <= c(A)*c(B); c(T) = k(T) = T;
k(A) <= A <= c(A).

Стало быть, в общем случае топология разбивает топ.пространство
относительно произвольной области A на три непересекающиеся области:
- ядро k(A) - твердое (необходимость) утверждение A,
- ядро дополнения k(-A) - твердое (необходимость) отрицание -A и
- границу b(A) - пересечение замыканий - возможность и утверждения, и отрицания.
Замыкания c(A) и c(-A) суть возможности утверждения и отрицания.

Основной закон: c(-A) = -k(A) - возможность отрицания есть отрицание необходимости.
Обратный закон: -c(A) = k(-A) - отрицание возможности есть необходимость отрицания.

Следовательно, логика, индуцированная топологией,
в общем случае 3-значна с нарушением закона исключенного третьего.
Здесь необходимость всегда не больше возможности и пространство связанно,
если границы всех его собственных областей непустые.

Если все границы пусты, логика становится 2-значной,
возможность всегда совпадает с необходимостью, всякая область
совпадает со своими ядром и замыканием, т.е. открыта-замкнута, и
пространство распадается на свои  элементы, т.е. абсолютно несвязанно.
Основной и обратный законы становятся одной тавтологией.
Что полностью соответствует идеалу Аристотеля.
и куда падает современность.

добавление:
Окрестность области A - область, ядро которой содержит область A:
если G - окрестность области A, то  A <= k(G) <= G.

Пограничная область области A - подобласть границы области A.

Любая окрестность пограничной области B области A пересекает область A и ее дополнение -A.
Действительно, если G - окрестность области B, то ядро k(G) пересекает обе грани области A, т.к. в противном случае ядро k(G) вместе с B должно было бы целиком находиться либо в k(A), либо в k(-A), что противоречит пограничности B. Стало быть, k(G) пересекает область A и ее дополнение -A.

Надядро sk(A) области A  - минимальная окрестность области A: A <= k(sk(A)) = sk(A)

замечание:
Топология и логика всегда опираются на пространство
с булевой алгеброй, которая, в свою очередь, является
дистрибутивной MV-алгеброй. Логический вывод есть движение
от посылок к следствию в логическом пространстве.
Интуиция же есть не "ползание" по его тропам,
но "визуальное" восприятие его горизонтов.
иногда с высоты орлиного полета.


Забвение Бытия у Аристотеля