срединная сумма векторов

[az118]

Определим срединную сумму векторов x и y как 

          |x|+|y|
   x⊕y = ──────── (x+y) .
          2 |x+y|

Очевидно,  x⊕x=x  и

           |x|+|y|
  |x⊕y| = ──────── .
              2

Операция ⊕ коммутативна, но не ассоциативна. Хотя видимо трансассоциативна:

        (x⊕z)⊕(z⊕y) = (x⊕y)⊕z

в частности, при  z = x⊕y

        (x⊕(x⊕y))⊕((x⊕y)⊕y) = x⊕y


Каково порождаемое операцией ⊕ множество в общем случае?

Ясно, что оное множество лежит на плоскости с базисом из векторов x и y и можно без потери общности перейти к 2-мерному случаю. Для удобства положим вектор x как горизонтальный орт [c,0], а вектор y - [z, ±√( (βc)²-z²) ] так, что |x|=с и |y|=β|x|=βс, где z варьируется.

Тогда x+y=[c+z, ±√( (βc)²-z²) ], |x|+|y|=(1+β)c и |x+y|= √((c+z)²+(βc)²-z²) = c√(1+β²+2z/c).

таким образом

                                  1+β
       x⊕y = ────────────── [c+z, ±√((βc)²-z²)] .
                        2√(1+β²+2z/c)

При β=1 имеем

          c 
   x⊕y = ─── [√(1+z/c), ±√(1-z/c)] .
          √2 


При |x|=|y| получаем |x⊕y|=|x|=|y| и, стало быть, 
множество всех векторов, порождаемых операцией ⊕ из 
начальных векторов x и y, является подмножеством точек 
дуги окружности с концами x и y. В частности при y=-x, 
|x⊕y| дает два вектора, ортогональных векторам x и y, 
а порождаемое множество образует окружность. 

Если y=βx, где β - действительное число, то 
|y|=|β||x|, x+y=(1+β)x, |x|+|y|=(1+|β|)|x|, |x+y|=(1+β)|x| 
и, сл-но, 

           1+|β| 
   x⊕βx = ────── x . 
            2 

т.е. порождаемое множество - отрезок прямой с концами x и βx.