![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Обобщение золотого сечения
May. 30th, 2010 02:02 amПринцип классического золотого сечения:
Большая часть относится к целому как меньшая к большей
Естественно целое полагать 1, а большую часть обозначить φ.
Тогда меньшая часть равна 1-φ и золотой принцип примет вид
φ = (1-φ)/φ
откуда
φ + φ2 = 1
и φ = (√5 - 1)/2 = 0.6180... - предел отношения соседних членов ряда Фибоначчи:
F1 = 0, F2 = 1, Fk+1 = Fk + Fk-1
и φ = lim Fk / Fk+1, причем, по индукции
Fk = φFk+1 + (-φ) k = Fk-1 / φ + (-φ) k-2 =
= [φ2 + (-φ2) k] / [(φ2+1)φ k]
Как легко видеть,
φ k Fk + φ k-1 Fk+1 = 1
где φ k Fk = [φ2 + (-φ2) k] / (φ2+1) стремится к
φ2 / (φ2+1) = 0,27639320...
Если частей больше двух, то получаем
Принцип обобщенного золотого сечения:
Наибольшая часть относится к целому как следующая за наибольшей к наибольшей,
и, в общем, как следующая к предыдущей в порядке убывания величин частей.
Попрежнему целое будем полагать 1, а наибольшую часть обозначим φm,
где m - число частей.
Тогда обобщенный золотой принцип примет вид
φm = φm2/φm = φm3/φm2 =...= (1 - φm - φm2 -...- φmm-1)/φmm-1
откуда
φm + φm2 +...+ φmm= 1
или
φmm+1 -2φm +1 = 0
φ1 = 1, φ2 ≈ 0.618..., φ3 ≈ 0.543..., φ4 ≈ 0.519... и т.д.
В пределе с ростом числа частей φm стремится к 1/2, являясь
пределом отношения соседних членов обобщенного ряда Фибоначчи:
F (m)1 =...= F (m)m-1 = 0, F (m)m = 1, F (m)k+1 = F (m)k + F (m)k-1 +...+ F (m)k-m+1
и φm = lim F (m)k / F (m)k+1
Нетрудно показать что
∑i=0...m-1 φmk-i ∑j=0...i F (m)k-j = 1
Части целого часто являются вертикальными уровнями иерархии бытия.
Приложение
Метод Ньютона
Корень уравнения f(x) = 0, где f(x) - монотонная функция,
легко найти методом касательных:
x' = x - f(x) / f'(x)
При f(x) = x n+1- 2x +1 = 0
f'(x) = (n+1)x n- 2
и
x' = (nx n+1-1) / ((n+1)x n-2)
при начальном x = 1/2 за 6-7 итераций достигается
точность 6 знаков после запятой.
Большая часть относится к целому как меньшая к большей
Естественно целое полагать 1, а большую часть обозначить φ.
Тогда меньшая часть равна 1-φ и золотой принцип примет вид
φ = (1-φ)/φ
откуда
φ + φ2 = 1
и φ = (√5 - 1)/2 = 0.6180... - предел отношения соседних членов ряда Фибоначчи:
F1 = 0, F2 = 1, Fk+1 = Fk + Fk-1
и φ = lim Fk / Fk+1, причем, по индукции
Fk = φFk+1 + (-φ) k = Fk-1 / φ + (-φ) k-2 =
= [φ2 + (-φ2) k] / [(φ2+1)φ k]
Как легко видеть,
φ k Fk + φ k-1 Fk+1 = 1
где φ k Fk = [φ2 + (-φ2) k] / (φ2+1) стремится к
φ2 / (φ2+1) = 0,27639320...
Если частей больше двух, то получаем
Принцип обобщенного золотого сечения:
Наибольшая часть относится к целому как следующая за наибольшей к наибольшей,
и, в общем, как следующая к предыдущей в порядке убывания величин частей.
Попрежнему целое будем полагать 1, а наибольшую часть обозначим φm,
где m - число частей.
Тогда обобщенный золотой принцип примет вид
φm = φm2/φm = φm3/φm2 =...= (1 - φm - φm2 -...- φmm-1)/φmm-1
откуда
φm + φm2 +...+ φmm= 1
или
φmm+1 -2φm +1 = 0
φ1 = 1, φ2 ≈ 0.618..., φ3 ≈ 0.543..., φ4 ≈ 0.519... и т.д.
В пределе с ростом числа частей φm стремится к 1/2, являясь
пределом отношения соседних членов обобщенного ряда Фибоначчи:
F (m)1 =...= F (m)m-1 = 0, F (m)m = 1, F (m)k+1 = F (m)k + F (m)k-1 +...+ F (m)k-m+1
и φm = lim F (m)k / F (m)k+1
Нетрудно показать что
∑i=0...m-1 φmk-i ∑j=0...i F (m)k-j = 1
Части целого часто являются вертикальными уровнями иерархии бытия.
Приложение
Метод Ньютона
Корень уравнения f(x) = 0, где f(x) - монотонная функция,
легко найти методом касательных:
x' = x - f(x) / f'(x)
При f(x) = x n+1- 2x +1 = 0
f'(x) = (n+1)x n- 2
и
x' = (nx n+1-1) / ((n+1)x n-2)
при начальном x = 1/2 за 6-7 итераций достигается
точность 6 знаков после запятой.
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}