Бинарные индикаторы и теорема Белла

[az118]

Пусть S - конечное множество и A_1,...,A_n  - семейство из n его подмножеств.
Ясно, что тогда любой элемент множества S обладает свойствами P_1,...,P_n,
где каждое свойство P_k, k=1,...,n  имеет только два значения:
1, если элемент принадлежит подмножеству A_k, и 0 в противном случае,
который будем обозначать  -P_k. Таким образом, значение P_k
можно записать как bP_k, где b принимает значение "+" при P_k=1 и "-" при P_k=0.
Также будем писать -bP_k в случае инверсии значения: --P_k=+P_k  и -+P_k= -P_k

Каждому набору значений V={bP_k_1,...,bP_k_m}  соответствует подмножество
S(V)=S(bP_k_1,...,bP_k_m) элементов множества S.  Через -V обозначим
инверсию набора V: -V={-bP_k_1,...,-bP_k_m}. Понятно, что S(+P_k) = A_k,
S(-P_k) = -A_k,  S(+P_k) + S(-P_k) = S, S(-V) <= -S(V),  S(V) + S(-V) <= S
и S(V)=S(bP_k_1)*...*S(bP_k_m), где "*" - пересечение.

Очевидно, что  S(V) <= S(V+W) + S(V+-W) для непересекающихся наборов V и W,
причем равенство выполняется только для элементарного W.
Следовательно, для попарно  непересекающихся наборов U, V и W имеем
S(U+V) = S(U+V+W) + S(U+V+-W)
S(-V+W) = S(U+-V+W) + S(-U+-V+W)
S(U+W) = S(U+V+W) + S(U+-V+W)
и
S(U+V) + S(-V+W) = S(U+V+W) + S(U+V+-W) + S(U+-V+W) + S(-U+-V+W) =
= [ S(U+V+W) + S(U+-V+W) ] + S(U+V+-W) + S(-U+-V+W) =
= S(U+W) + S(U+V+-W) + S(-U+-V+W)

Стало быть, S(U+W) <= S(U+V) + S(-V+W).

Набор V играет роль тразитного моста от U  к W,
сужающего начальную область определения, представленную
суммой двух областей, до области суммы, что свидетельствует
о наличии корреляции между наборами U  и W.

Это и есть обобщенная теорема Белла.

p.s.
Очевидно, что существование транзитного моста
зависит от структуры семейства P_1,...,P_n, а также
от степени произвольности его выбора, детерминированных
природой элементов множества S, и при этом не зависить от
самого множества. При наличии корреляции может возникнуть
индетерминизм как следствие невозможности полного
разделения S(+P_k) и S(-P_k) в случае полной определенности
некоторых S(bP_i), т.е. будут наблюдаться квантово-механические
эффекты даже для одноэлементного множества S.

pps
равенство S(V) = S(V+W) + S(V+-W) выполняется только для
элементарного, т.е. из одного свойства, W. для произвольного W
оно становится неравенством S(V) <= S(V+W) + S(V+-W).
Но тогда в неравенстве Белла все наборы - U, V и W - элементарны