Entries tagged with операторы

Entry tags:

Симметрическая группа: способ задания двумя образующими

Пусть G - группа с двумя образующими - b и c -
и соотношениями (c^-(k-1)(cb)^k-1)^k = (cb)^n-1 = 1, где k=2,...,n.

Обозначив c₁ = 1,   c_k = c^-(k-1)(cb)^k-1,   c_j,k = c_kc_j^-1,
b_1,k = c_kbc_k^-1, b_j,k = c^-(j-1)b_1,k-j+1c ^j-1,   b_k = b_k-1,k,
получаем b_1,2= b = c₂,   c_n = c,   c_j,k = c^-(j-1)c_k-j+1 c^j-1,
b_k = c_k-1,k = c^-(k-2)b c^k-2,   c_k = b_kc_k-1 = c_j,kc_j,
и, стало быть, b_j,k² = c_k^k = c_j,k^k-j+1 = 1,
где k=2,...,n, j=1,...,k-1.

В частности: b_1,k = c_j,kb_1,jc_j,k^-1,   b_j,k = c_j,kb_j+1c_j,k^-1,
b_jb_k = c^-(j-2)b c^j-2c^-(k-2)b c^k-2 = c^-(j-2)bb_k-j+2 c^j-2,
c_k = c_1,k, c_kb = c_2,k = c^-1c_k-1c,   (c_kb)^k-1 = 1,
|b_jb_k| = |bb_k-j+2|.

                      b_k
  ┌───┐ ┌───┐ ┌ - ┐ ┌───┐
┌►┴───┴►┼───┴►┼ - ┴►┼───┴►┐c_k
└───────┘     │     │     │
└─────────────┘     │     │
└────────────── - ──┘     │
└────────────── - ────────┘
              b_1,k

Пусть также d_j,k= c^-jbc^j-kbc^k= d_j,k^-1= c^-kbc^k-jbc^j= d_k,j для  j < k-1.
Следовательно,   b_jb_k = d_j-2,k-2 = d_k-2,j-2 = b_kb_j, что равнозначно
bb_k= (bb_k)^-1= b_kb для k > 3.

Тогда группа  G  изоморфна симметрической группе S_n
.
Очевидно, S_n= S_n-1Z_n= Z₂Z₃... Z_n

Entry tags:

конечные группы с двумя образующими

I. полностью определенные тремя соотношениями:

   G = < A,B | A^m=Bⁿ=(AB)^k=1 >

1. m=n=k=2: четверная группа Клейна K4 = < A,B | A²=B²=(AB)²=1 >.
2. m=n=k=4: группа кватернионов Q8 = < A,B | A⁴=B⁴=(AB)⁴=1 >.
3. m=n=2, k=4: 2-операторная группа GL(2) = < A,B | A²=B²=(AB)⁴=1 >.


II. группа перестановок:

симметрическая группа 
S_n = < A,B | (B^-k(BA)^k)^k+1=(BA)^n-1=1 for k=1,...,n-1 >. 
Легко видеть, что A2=Bⁿ=1.

_____________________________________________________
Если G = < A,B > - группа с образующими A,B,
то < X > - цикл (циклическая подгруппа) с образующей X,
|X| = |< X >| - порядок элемента X, |G| = |A,B| - порядок группы G,
(G:H) - индекс подгруппы H группы G и |G| = (G:H)|H| (теорема Лагранжа).

Понятно, что m=|A|, k=|AB|=|BA| и |G| = (G:A) |A| = (G:B) |B| = (G:AB) |AB|.

Также ясно, что |X| = |Y-1XY| для любых X и Y,
т.е. порядок инвариантен относительно сопряжения.

Пусть < C > = < A > ⋂ < B > - общий подцикл образующих циклов.

Тогда C = A (A:C) = B (B:C), |A| = (A:C)|C|, |B| = (B:C) |C|,
(G:C) = (G:A) (A:C) = (G:B) (B:C) и (G:AB) или |AB| кратно |C|.

Цикл < C > находится в центре Z(G) группы G, причем,
< C > ⊂Z(G)=G если группа абелева, и < C > = Z(G) ⊂ G если нет.

Current Music: мельница богов

Entry tags:

группы порядка 8

Класс групп порядка 8 содержит 3 абелевые Z₈, Z₄*Z₂, Z₂*Z₂*Z₂ 
и 2 антиабелевые группы: 
- кватернионов Q₈ = < K, I | K⁴=I⁴=(KI)⁴=E >;
- 2-операторную GL(2) = < K, R | K²=R²=(KR)⁴=E >.

Последние две исчерпывают класс антиабелевых групп
с циклическим коммутантом порядка 2, совпадающим
с центром группы.

Entry tags:

Линейные операторы на плоскости

Любой линейный оператор на плоскости является линейной комбинацией
четырех базисных операторов, имеющих следующие матричные представления
в подходящем базисе:

тождественного   x-отражения   поворота-на-90   xy-отражения
  E = |1 0|      R = |-1 0|      I = | 0 1|      K = |0 1|
      |0 1|          | 0 1|          |-1 0|          |1 0|

AE=EA=A, E=R²=-I²=K²=E², R=KI=-IK, I=KR=-RK, K=IR=-RI.

Операторы R и K - образующие операторной группы плоскости

 GL(2) = < K,R | K²=R²=(KR)⁴=E > порядка 8.

Оператор поворота с растяжением - линейная комбинация

E и I.

Оператор отражения отн.некоторой прямой, проходящей через 0,
с растяжением - линейная комбинация

R и K.

Операторы E, R и K соответствуют пространству,
Оператор I - времени.

Если b - нормированный вектор, то (b,Ib) - ортонормированный базис.
и v = v₁b+v₂Ib = (v₁E+v₂I)b - поворот вектора b. 

Алгебра поворотов на плоскости изоморфна алгебре комплексных чисел
и, стало быть, алгебре 2-векторов, т.е. самой плоскости.

2n-линейное действительное пространство, представимое как прямое 
произведение n плоскостей, изоморфно n-линейному комплексному 
пространству.


Кет и бра

кет-вектор |b> - просто вектор-столбец b,
бра-вектор <b| - вектор-строка b^* и  
A|b> = Ab, <b|A^* = b^*A^* = (Ab)^*, <a|b> = a^*b,  <a|A|b> = (A^*a)^*b = a^*Ab.

Entry tags:

Бинарные индикаторы и теорема Белла

Пусть S - конечное множество и A_1,...,A_n - семейство из n его подмножеств.
Ясно, что тогда любой элемент множества S обладает свойствами P_1,...,P_n,
где каждое свойство P_k, k=1,...,n имеет только два значения:
1, если элемент принадлежит подмножеству A_k, и 0 в противном случае,
который будем обозначать -P_k. Таким образом, значение P_k
можно записать как bP_k, где b принимает значение "+" при P_k=1 и "-" при P_k=0.
Также будем писать -bP_k в случае инверсии значения: --P_k=+P_k и -+P_k= -P_k

Каждому набору значений V={bP_k_1,...,bP_k_m} соответствует подмножество
S(V)=S(bP_k_1,...,bP_k_m) элементов множества S. Через -V обозначим
инверсию набора V: -V={-bP_k_1,...,-bP_k_m}. Понятно, что S(+P_k) = A_k,
S(-P_k) = -A_k, S(+P_k) + S(-P_k) = S, S(-V) <= -S(V), S(V) + S(-V) <= S
и S(V)=S(bP_k_1)*...*S(bP_k_m), где "*" - пересечение.

Очевидно, что S(V) <= S(V+W) + S(V+-W) для непересекающихся наборов V и W,
причем равенство выполняется только для элементарного W.
Следовательно, для попарно непересекающихся наборов U, V и W имеем
S(U+V) = S(U+V+W) + S(U+V+-W)
S(-V+W) = S(U+-V+W) + S(-U+-V+W)
S(U+W) = S(U+V+W) + S(U+-V+W)
и
S(U+V) + S(-V+W) = S(U+V+W) + S(U+V+-W) + S(U+-V+W) + S(-U+-V+W) =
= [ S(U+V+W) + S(U+-V+W) ] + S(U+V+-W) + S(-U+-V+W) =
= S(U+W) + S(U+V+-W) + S(-U+-V+W)

Стало быть, S(U+W) <= S(U+V) + S(-V+W).

Набор V играет роль тразитного моста от U к W,
сужающего начальную область определения, представленную
суммой двух областей, до области суммы, что свидетельствует
о наличии корреляции между наборами U и W.

Это и есть обобщенная теорема Белла.

p.s.
Очевидно, что существование транзитного моста
зависит от структуры семейства P_1,...,P_n, а также
от степени произвольности его выбора, детерминированных
природой элементов множества S, и при этом не зависить от
самого множества. При наличии корреляции может возникнуть
индетерминизм как следствие невозможности полного
разделения S(+P_k) и S(-P_k) в случае полной определенности
некоторых S(bP_i), т.е. будут наблюдаться квантово-механические
эффекты даже для одноэлементного множества S.

pps
равенство S(V) = S(V+W) + S(V+-W) выполняется только для
элементарного, т.е. из одного свойства, W. для произвольного W
оно становится неравенством S(V) <= S(V+W) + S(V+-W).
Но тогда в неравенстве Белла все наборы - U, V и W - элементарны