Entry tags:
Линейные операторы на плоскости
Любой линейный оператор на плоскости является линейной комбинацией
четырех базисных операторов, имеющих следующие матричные представления
в подходящем базисе:
четырех базисных операторов, имеющих следующие матричные представления
в подходящем базисе:
тождественного x-отражения поворота-на-90 xy-отражения
E = |1 0| R = |-1 0| I = | 0 1| K = |0 1|
|0 1| | 0 1| |-1 0| |1 0|
AE=EA=A, E=R2=-I2=K2=E2, R=KI=-IK, I=KR=-RK, K=IR=-RI.
Операторы R и K - образующие операторной группы плоскости
GL(2) = < K,R | K2=R2=(KR)4=E > порядка 8.
Оператор поворота с растяжением - линейная комбинацияE и I. Оператор отражения отн.некоторой прямой, проходящей через 0, с растяжением - линейная комбинация
R и K. Операторы E, R и K соответствуют пространству, Оператор I - времени. Если b - нормированный вектор, то (b,Ib) - ортонормированный базис. и v = v1b+v2Ib = (v1E+v2I)b - поворот вектора b.
Алгебра поворотов на плоскости изоморфна алгебре комплексных чисел и, стало быть, алгебре 2-векторов, т.е. самой плоскости. 2n-линейное действительное пространство, представимое как прямое произведение n плоскостей, изоморфно n-линейному комплексному пространству. Кет и бра
кет-вектор |b> - просто вектор-столбец b, бра-вектор <b| - вектор-строка b* и A|b> = Ab, <b|A* = b*A* = (Ab)*, <a|b> = a*b, <a|A|b> = (A*a)*b = a*Ab.