az118: (Default)
Определим срединную сумму векторов x и y как 

          |x|+|y|
   x⊕y = ──────── (x+y) .
          2 |x+y|

Очевидно,  x⊕x=x  и

           |x|+|y|
  |x⊕y| = ──────── .
              2


Операция ⊕ коммутативна, но не ассоциативна. Хотя видимо трансассоциативна:

        (x⊕z)⊕(z⊕y) = (x⊕y)⊕z

в частности, при  z = x⊕y

        (x⊕(x⊕y))⊕((x⊕y)⊕y) = x⊕y


Каково порождаемое операцией ⊕ множество в общем случае?

Ясно, что оное множество лежит на плоскости с базисом из векторов x и y и можно без потери общности перейти к 2-мерному случаю. Для удобства положим вектор x как горизонтальный орт [c,0], а вектор y - [z, ±√( (βc)2-z2) ] так, что |x|=с и |y|=β|x|=βс, где z варьируется.

Тогда x+y=[c+z, ±√( (βc)2-z2) ], |x|+|y|=(1+β)c и |x+y|= √((c+z)2+(βc)2-z2) = c√(1+β2+2z/c).

таким образом

                                  1+β
       x⊕y = ────────────── [c+z, ±√((βc)2-z2)] .
                        2√(1+β2+2z/c)


При β=1 имеем

          c 
   x⊕y = ─── [√(1+z/c), ±√(1-z/c)] .
          √2 


При |x|=|y| получаем |x⊕y|=|x|=|y| и, стало быть, 
множество всех векторов, порождаемых операцией ⊕ из 
начальных векторов x и y, является подмножеством точек 
дуги окружности с концами x и y. В частности при y=-x, 
|x⊕y| дает два вектора, ортогональных векторам x и y, 
а порождаемое множество образует окружность. 

Если y=βx, где β - действительное число, то 
|y|=|β||x|, x+y=(1+β)x, |x|+|y|=(1+|β|)|x|, |x+y|=(1+β)|x| 
и, сл-но, 

           1+|β| 
   x⊕βx = ────── x . 
            2 

т.е. порождаемое множество - отрезок прямой с концами x и βx.

az118: (Default)
Пусть G  – группа,  a,b,cG  и  P,S ⊆ G

Тогда  aS={ax: xS },  PS={xy: xP, yS },  S-1={x-1: xS }. 

Если SS=S=S-1, то S  подгруппа группы G, причем для конечного S  достаточно условия SS=S.


Элемент сопряжен с элементом  cb=aba-1 посредством элемента a.
Элемент c=[a,b]=aba-1b-1=(ab)(ba)-1  называется коммутатором элементов a и b.
Коммутант  G'  группы G  –  подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы G..

Элемент самосопряжен относительно элемента a, если, и только если, [a,b]=1. 
Тогда  b=aba-1, элемент a самосопряжен относительно элемента b и элементы a и b коммутируют.

Элемент самосопряжен, если, и только если, он самосопряжен относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми ее элементами.

Множество сопряжено с множеством  PS=aSa-1 посредством элемента a.
Множество P=[a,S]=aSa-1S-1 называется коммутатором элемента a и множества S.

Множество самосопряжено относительно элемента a, если, и только если, aSa-1=S.
Тогда  множество коммутирует с элементом a в целом.

Множество самосопряжено, если, и только если, оно самосопряжено относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми элементами в целом.


Нормализатор NG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S в целомNG(S)={xG: xS=Sx }={xG: xSx-1=S }. Ясно, что NG(S) подгруппа  группы G.  Множество S самосопряжено относительно своего нормализатора и любого его элемента.  Нормализатор подгруппы содержит ее.

Подгруппа H самосопряжена (нормальна) в G, если, и только если, NG(H)=G, или, иначе, xHx-1=H для любого xG. Любая подгруппа самосопряжена в своем нормализаторе. xyH=xyHH=xHyH  и H=HH=xHx-1H  для любых x,yG.


Централизатор ZG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S поэлементноZG(S)={xG: xy=yx, yS }. Ясно, что ZG(S) подгруппа нормализатора NG(S). Каждый элемент множества S самосопряжен относительно своего централизатора и любого его элемента.  Централизатор элемента a  совпадает с его нормализатором: ZG(a)=NG(a). Нетрудно видеть, что ZG(S1S2)=ZG(S1)ZG(S2). В частности, если S={s1,s2,…,sn}, то ZG(S)=ZG(s1,s2,...,sn)=ZG(s1)ZG(s2)ZG(sn).

Центр Z(S) множества S  – множество всех элементов множества S, коммутирующих с S поэлементно. Ясно, что Z(S)=SZG(S)Центр подгруппы H – нормальная подгруппа подгруппы H  и ее централизатора. 

Подгруппа H абелева в G, если, и только если, Z(H)=H.
Группа G абелева, если, и только если, каждый ее элемент самосопряжен относительно всех элементов группы: Z(G)=G.


В общем, если H – подгруппа, то 

xHx-1  –  подгруппа, сопряженная с H,
|H| = |xHx-1|,  |b| = |xbx-1|,  |bc| = |b(cb)b-1| = |cb|,  


Z(H⊆ H ⊆ NG(H⊆ G,
Z(H⊆ ZG(H⊆ NG(H⊆ G,  
|G(G:NG(H))  (NG(H):H)  (H:Z(H))  |Z(H)| (G:NG(H))  (NG(H):ZG(H))  (ZG(H):Z(H))  |Z(H)|.


Теорема Кели

Всякая группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы SG.

В самом деле, выражение  bx =  при фиксированном  представляет собой автобиекцию группы G. Но автобиекции множества суть элементы  симметрической группы для этого множества. Стало быть, множество всех автобиекций группы G, порождаемых групповой композицией, равномощно множеству G и является подгруппой симметрической группы SG.


az118: (Default)
Пусть G - группа с двумя образующими - b и c -
и соотношениями (c-(k-1)(cb)k-1)k = (cb)n-1 = 1, где k=2,...,n.

Обозначив  c1 = 1,   ck = c-(k-1)(cb)k-1,   cj,k = ckcj-1,  
b1,k = ckbck-1,  bj,k = c-(j-1) b1,k-j+1 j-1,   bk = bk-1,k
получаем  b1,2 = b = c2,   cn = c,   cj,k = c-(j-1) ck-j+1 c j-1,
bk = ck-1,k = c-(k-2) b ck-2,   ck = bck-1 = cj,kcj
и, стало быть,  bj,k2 = ckk = cj,kk-j+1 = 1,   
где  k=2,...,n,  j=1,...,k-1.

В частности: b1,k = cj,k b1,j cj,k-1,   bj,k = cj,k bj+1 cj,k-1,
bjbk = c-(j-2) b c j-2 c-(k-2) b ck-2 = c-(j-2) bbk-j+2 c j-2,
ck = c1,k,   ckb = c2,k = c-ck-1 c,   (ckb)k-1 = 1,
|bjbk| = |bbk-j+2|.


                      bk
  ┌───┐ ┌───┐ ┌ - ┐ ┌───┐
┌►┴───┴►┼───┴►┼ - ┴►┼───┴►┐ck
└───────┘     │     │     │
└─────────────┘     │     │
└────────────── - ──┘     │
└────────────── - ────────┘
              b1,k


Пусть также  dj,k = c-jbc j-k bck = dj,k-1 = c-kbck-jbc j = dk,j   для  j < k-1. 
Следовательно,   bjbk = dj-2,k-2 = dk-2,j-2 = bkb, что равнозначно
bbk = (bbk)-1 = bkb  для  k > 3.

Тогда группа  G  изоморфна симметрической группе Sn
.
Очевидно,  Sn = Sn-1 Zn = Z2 Z3 ... Zn
az118: (Default)
Если R - ординал, то 

R+1 = R + {R},

R+2 = R + {R,R+1}  и т.д.

Очевидно: 1 ~ {R}, 2 ~ {R,R+1}

Стало быть, {R} и {R,R+1} представляют типы 
ВУМ {X} из одного и {X,X+1} из двух элементов,
являясь их прототипами.

Архетип мат.структуры - это ее минимальный 
начальный прототип при R = 0:

1 = {0} и 2 = {0,1} - архетипы для {X} и {X,X+1}
az118: (Default)
Положим V = {0,c,d,1}

1. Система L4(2)
0 - ложность, 1 - истинность,
c - слабая неопр., d - сильная неопр.
┌───┬─────────┬───┬───┬─────────┐
│ + │ 0 1 c d │ ~ │ • │ 0 1 c d │
├───┼─────────┼───┼───┼─────────┤
│ 0 │ 0 1 c d │ 1 │ 0 │ 0 0 0 0 │
│ 1 │ 1 1 1 1 │ 0 │ 1 │ 0 1 c d │
│ c │ c 1 c 1 │ d │ c │ 0 c c 0 │
│ d │ d 1 1 d │ c │ d │ 0 d 0 d │
└───┴─────────┴───┴───┴─────────┘
x•y = ~(~x+~y), 
~~x = x, ~0 = 1, ~c = d,
x+0 = x+x = x, x+1 = c+d = 1.

2. Система P4(4)
0 - невозможность, 1 - возможность,
c - необходимость, d - необходимая возможность
┌───┬─────────┬───┬───┬─────────┐
│ + │ 0 c d 1 │ ~ │ • │ 0 c d 1 │
├───┼─────────┼───┼───┼─────────┤
│ 0 │ 0 c d 1 │ c │ 0 │ 0 0 0 0 │
│ c │ c c c c │ d │ c │ 0 c c c │
│ d │ d c d d │ 1 │ d │ 0 c d d │
│ 1 │ 1 c d 1 │ 0 │ 1 │ 0 c d 1 │
└───┴─────────┴───┴───┴─────────┘
x•y = ~~~(~x+~y), ~~~~x = x, 
~0 = c, ~c = d, ~d = 1, ~1 = 0,
x+0 = x+x = x, x+c = c, d+1 = d.

az118: (Default)

Пусть A = < V, 0, + > - коммутативный моноид с законом поглощения:

x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+x = x+0 = x

такой, что существует обратимый оператор φ: VV, индуцирующий
обобщенную mv-алгебру A(φ) = < V, 0, +, φ >:

x+φ0 = φ0, φ-1(φx+y)+y = φ-1(φy+x)+x.


Определим φ-дуальную к + операцию •(φ)
x •(φ) y = φ-1(φx+φy) и константу 1 = φ-10.

Тогда

0 = φ1, x •(φ) φ-1y + y = y •(φ) φ-1x + x,

x •(φ) 0 = φ-1(φx+φ0) = φ-1φ0 = 0,
x •(φ) 1 = φ-1(φx+φφ-10) = φ-1(φx+0) = φ-1φx = x,
x •(φ) х = φ-1(φx+φх) = φ-1φx = x,

x •(φ) y •(φ) z = φ-1(φx+φ(y •(φ) z) ) =
= φ-1(φx+φφ-1(φy+φz) ) = φ-1(φx+φy+φz) =
= x •(φ) (y •(φ) z) = (x •(φ) y) •(φ) z.

Поскольку одно из φkх имеет значение φ0,
в силу аксиомы x+φ0 = φ0 справедливы

закон исключения лишнего
x + φх +...+ φ-1х = φ0

и закон несовместимости степеней
x •(φ) φх •(φ) ... •(φ) φ-1х = 0.

Действительно,
x •(φ) φх •(φ)...•(φ) φ-1х = φ-1(x + φх +...+ φ-1х) = φ-1φ0 = 0,

Константы 0 и φ0 естественно интерпретировать
как невозможность и необходимость


В целом, оператор φ порождает на исходном моноиде A
семейство операций x •(φ,k) y = x •k y = φ-kkx+φky), для
которых справедливы тождества

x •k φ1-k0 = φ-kkx+φkφ1-k0) = φ-kkx+φ0) = φ-kφ0 = φ1-k0,
x •k φ1-k1 = φ-kkx+φkφ1-kφ-10) = φ-kkx+0) = φ-kφkx = x,
x •k х = φ-kkx+φkх) = φ-kφkx = x,

x •k y •k z = x •k (y •k z) = (x •k y) •k z

закон исключения лишнего 
φkx + φk+1х +...+ φk-1х = φ0 

и закон инварианта цикла 
x •k φх •k ... •k φ-1х = φ1-k0.


Исходная операция "+" соответствует •0 
и связана с константой необходимости  c = φ0: 
    "φ-1x" эквивалентно "необходимо x"; 
операция •1  -- с константой невозможности  0:  
    "φx" эквивалентно "невозможно x";
операция •2  --  с константой возможности 1 = φ-10: 
    "x" эквивалентно "возможно x".

В общем, операция •k  связана с константой  φ1-k0:


Очевидно, что φ0 и 1 = φ-10 совпадают лишь при φ = φ-1,
т.е. при |φ|=2. Тогда необходимо x+1 = x+φx = 1. Если |V|>2,
в V могут быть φ-неподвижные отличные от 1 элементы x = φx,
для которых x+φx = x, что невозможно в силу x+φx = 1. При
нечетном |V| хотя бы один такой элемент необходимо есть.
Стало быть, mv-алгебр с нечетным |V| и |φ|=2
не существует.

В общем, в mv-алгебре |V| кратно |φ|.

вот.

__________________________________________________

Примеры

Положим V = {0,c,1}

1. Система Лукасевича L3
0 - ложность, c - неопр., 1 - истинность 
┌───┬───────┬───┬───┬───────┐ 
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ 
├───┼───────┼───┼───┼───────┤ 
│ 0 │ 0 c 1 │ 1 │ 0 │ 0 0 0 │ 
│ с │ c c 1 │ с │ c │ 0 c c │ 
│ 1 │ 1 1 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 
└───┴───────┴───┴───┴───────┘ 
x•y = ~(~x+~y), 
~0=1, ~c=c, ~1=0, ~~x = x,
0+~0 = 1+~1 = 1, c+~c = c.

2. Система P3 
0 - невозможность, c - необходимость, 1 - возможность
┌───┬───────┬───┬───┬───────┬───┬───────┐ 
│ + │ 0 c 1 │ ~ │ • │ 0 c 1 │ * │ 0 c 1 │ 
├───┼───────┼───┼───┼───────┼───┼───────┤ 
│ 0 │ 0 c 1 │ с │ 0 │ 0 0 0 │ 0 │ 0 0 1 │ 
│ с │ c c c │ 1 │ c │ 0 c c │ c │ 0 c 1 │ 
│ 1 │ 1 c 1 │ 0 │ 1 │ 0 c 1 │ 1 │ 1 1 1 │ 
└───┴───────┴───┴───┴───────┴───┴───────┘ 
x•y = ~~(~x+~y) = ~(~~x*~~y), 
x*y = ~(~~x+~~y) = ~~(~x•~y),
~0=~~1=c, ~c=~~0=1, ~1=~~c=0, ~~~x = x,
0+~0+~~0 = c+~c+~~c = 1+~1+~~1 = c,
0*~0*~~0 = c*~c*~~c = 1*~1*~~1 = 1.

Система L3 не является mv-алгеброй
поскольку не всегда x+~x = ~0.

В P3 не действуют законы
противоречия и исключенного третьего,
но  x+~x+~~x = ~0  и  x•~x•~~x = 0,
т.е.
необходимо чтобы было
невозможно или необходимо или возможно,
а четвертого нет,
и
невозможно чтобы было
невозможно и необходимо и возможно.

"~~x" эквивалентно "необходимо x", 
"~x" эквивалентно "невозможно x",
"x" эквивалентно "возможно x",

 ~(~~x) = x   и   ~~(~x) = x,  т.е.

невозможность необходимости есть возможность

и

необходимость невозможности есть возможность.


p.s.
Любая операция в многозначной системе представляется композицией
степеней отрицания-транспозиции и полноциклического отрицания.
az118: (Default)
Производная порядка ρ цепи A ординала ρ равна ординалу ρ:

 A(ρ) = ρ

Производная порядка 1 ординала ρ равна ординалу ρ:

ρ(1) = ρ

___________________________

Производная порядка 0 цепи A тождественна A:

 A(0) = A

Производная порядка η+1 цепи A -- цепь всех хвостов производной порядка η цепи A:

 A(η+1) = { A(η)(x) x∈A(η) },

где A(x) = {y∈A y<x∈A } -- хвост цепи A по элементу x, --
 
изоморфна цепи A.


Все производные цепи A изоморфны ей и ее ординалу,
каковой есть простейшая цепь данного класса порядка следования..

Легко видеть, что для A = {x0, x1, ...} и η > 0

A(η) = η + { ...+ { 2 + { 1 + { A(x1) } } }... } + ... + { ... + { 2 + { 1 + { A(x1),...,A(x|A|-n) } } }... }
az118: (Default)
[продолжение этого]

Как было отмечено ранее, структурно ординал ω изоморфен дереву Пифагора.
Однако способы предельного развертывания у них различны.

Ординал ω растет прививкой себя себе со сдвигом корня:

                                            0    
                          0         0   0 0─┤    
                0     0 0─┤     0 0─┤ 0─┴───┤
          0 → 0─┘ → 0─┴───┘ → 0─┴───┴───────┘ → 
          1     2         3                 4

Дерево Пифагора растет из каждого листа, дающего две новые ветви с новыми
листами на концах и становящегося узлом. При этом корень дерева статичен:

                                            0
                                          0─00─┴───┤
                          0         00─0─┤       │    
                0     00   │       │    
          0 → 0─┘ → 0─┴───┘ → 0─┴───┴───────┘ → 
          1     2         3                 4 

В пределе получаем два обзора одной и той же структуры  с различных позиций:
- для ординала ω - от первого листа к убегающему в бесконечность корню;
- для дерева Пифагора - от корня к убегающим в бесконечность  листьям.
az118: (Default)
Ординал ω2 содержит все ординалы вида ωp+q, p,q=0,1,2... .
ωp+q не пара натур.чисел, но биективная функция от пары.
Отсюда биекция ω2 на декартов квадрат множества ω.

В общем, ωk содержит все ординалы вида ωk-1pk-1 +...+ ωp1 + p0 и,
являясь функцией от p0,...,pk-1=0,1,2,..., биецируется на декартову
k-ю степень множества ω. Причем, k - предельная мощность
последовательности ненулевых p0,...,pk-1 и одной из
последовательностей будет {0,1,...,k-1} = k.

Но тогда ординал ωω, будучи пределом ряда ωk, содержит
все "линейные" комбинации меньших ординалов с предельной
мощностью последовательностей ненулевых p0,...,pk,..., равной ω,
и одна из последовательностей в точности совпадет с ω.

Данное обстоятельство обусловлено квантором все, входящем в
определение ординала ω как ординала всех конечных ординалов,
который бесконечен.


                                                              0
                              0               0       0   0 0─┤
              0       0   0 0─┤       0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤
      0   0 0─┤   0 0─┤ 0─┴───┤   0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤
  0 0─┤ 0─┴───┤ 0─┴───┴───────┤ 0─┴───┴───────┴───────────────┤
0─┴───┴───────┴───────────────┴───────────────────────────────┴─► 
0 1   2       3               4                               5   ω

графическое представление начала ряда ординалов ω с 0 по 5-й.     

Легко видеть, конечный ординал k > 0 представляет собой двоичное
дерево с 2k-1 листьев - терминальных субэлементов, каковыми является
ординал 0. Ординал ω, будучи пределом конечных ординалов, является
бесконечным двоичным деревом,  мощность множества листьев которого
равна 2ω. Каждый из путей от корня дерева до одного из его листьев
определяет соответствующее ему подмножество ординала k-1 для
конечного ординала k или ординала ω для ординала ω.

Структурно ординал ω изоморфен дереву Пифагора:




az118: (Default)
Пусть d(0)=0 и d(n) < d(n+1) , n=0,1,2,...

Определим
d(n1,n2) = d(n1) + d(n2) [d(n1+1)-d(n1)]
,...,
d(n1,...,nk,nk+1) = d(n1,...,nk) + d(nk+1) [d(n1,...,nk+1)-d(n1,...,nk)]
,...

Очевидно, что d(n1,...,nk,0) = d(n1,...,nk)

Цепь (т.е. ВУМ) Dk = {d(n1,...,nk) : n1,...,nk из N} имеет счетный ординал wk.
Но ЛУМ  Dw = {d(n1,...,nk,...) : n1,...,nk,... из N} имеет несчетный ординал ww.
и цепью не является.
az118: (Default)
Если N - натуральный ряд,то его булеан p(N) представляет собой сумму слоев из равномощных подмножеств натур.ряда:

p(N) = S0+ S1+ S2+...+ S*+...+ S-2+ S-1+ S-0,  где 

Sn - множество всех конечных подмножеств мощности n,
S-n - множество всех бесконечных дополнений конечных подмножеств мощности n, сопряженное Sn,
S* - множество всех бесконечных подмножеств с бесконечными дополнениями.

Очевидно, множество всех слоев счетно, слои  Sn и  S-n также счетны.

Сл-но, булеан равномощен слою S* .

Если последний вполне упорядочиваем, то он счетен и,
стало быть, счетен сам булеан.
az118: (Default)
Отношение близости на мн-ве S -
тернарное отношение на S, проекция
которого на 2-й и 3-й атрибуты при
фиксированном значении 1-го атрибута
является отношением частичного
порядка на S.

Выражение "x ближе к y чем к z" эквивалентно
выражению "y предшествует z относительно x" и
для него естественны записи "x | y < z", "y < z | x"
или "z > y | x", где x,y,z - значения атрибутов
X,Y,Z отношения близости R(X,Y,Z) и для
любого x проекция R(Y,Z|X=x) - отношение
частичного порядка.
az118: (Default)

А.Ф.Лосев

Учение Платона о ЧИСЛЕ

Во-первых, выясняется, что число пронизывает у Платона решительно все бытие с начала до конца, сверху донизу. Уже тот первопринцип, о котором Платон трактует в VI кн. "Государства", Платон склонен рассматривать как Единое, то есть понимает его, в сущности, арифметически. Платоновский Ум представляет собой уже раздельность бытия, а всякая раздельность возможна только благодаря числу. Мировую душу Платон тоже понимал как самодвижное число. О космосе же и говорить нечего. У Платона он весь состоит только из математических определений. Число до такой степени пронизывает всю платоновскую действительность, что, можно сказать, она вся только и состоит из одних чисел. В дальнейшем мы убедимся, что эта числовая пронизанность не только всего неживого, но и всего живого у Платона, включая человека и общество, достигает такой исключительности и претендует на такую общезначимость, которая заставляет нас считать Платона безусловно отцом или прародителем кибернетики.

Необходимо к этому прибавить, что появление математического естествознания в XVII в., равно как и вся подготовительная работа к этому в эпоху Возрождения, только потому и были возможны, что на смену средневекового официального аристотелизма выступили платонизм и неоплатонизм. Но это требует особого историко-философского исследования. Мы не ошибемся, если назовем философию и эстетику Платона не просто объективным идеализмом, но и объективным количественным идеализмом.

Во-вторых, литература о платоновской теории чисел с полной ясностью обнаруживает, что Платон понимал число не просто как формальный результат простого арифметического счета. Единицы, входящие у него в каждое число, не просто им перечисляются, но еще и мыслятся определенным образом расположенными друг в отношении друга, определенным образом упорядоченными и представляющими собою то, что сейчас математики называют "упорядоченным", или, лучше сказать, "вполне упорядоченным множеством". Другими словами, сейчас нужно считать установленным, что каждое число Платон понимает как ту или иную структуру. Эту структуру Платон снимает как бы с самих вещей. Ведь каждая вещь обладает своей собственной формой, и форм этих бесконечное количество. Отвлекаясь от материального содержания вещи и оставляя только те точки, которые указывают на строение самой вещи, мы и получаем группу определенным образом расположенных точек; а эта группа точек и есть то, что Платон называет числом. Таким образом, в настоящее время установлено структурное понимание числа у Платона. О том, что это структурное понимание унаследовано им от пифагорейцев, тоже писали очень много57.

В-третьих, современное платоноведение установило не просто смысловую природу числа у Платона, но и природу силовую, энергийную. Число у Платона не просто мыслится, не просто есть умственная абстракция и даже не просто самостоятельно существующий смысловой предмет, то есть не просто есть структура. Эта числовая структура активно определяет собою формы вещей; а ведь если вещь лишена формы, то она и вообще перестает существовать. Поэтому число у Платона есть то, что создает собою вещи и весь их распорядок. Число является как бы каким-то заряженным оружием, и заряженность эта есть заряженность бытием и самой действительностью. Именно здесь объективный, количественный идеализм Платона получает свое наибольшее заострение.

Наконец, в-четвертых, отсюда выясняется и подлинная эстетическая роль категорий числа у Платона. Когда мы выше говорили, что эстетический принцип у Платона представляет собой прежде всего слияние внутреннего и внешнего в одно нераздельное целое и что с этим соединяется у Платона также и слияние созерцательного с производственно-жизненным, то мы еще не знали тогда, что все это имеет отношение в первую очередь к числу. Теперь же мы можем констатировать, что у Платона в первую очередь именно число есть такое внутреннее основание вещей, которое проявляется в их внешнем состоянии и не только проявляется, но как раз даже создает, творит собой всю эту внешнюю стихию вещи. Получается, таким образом, что число, будучи в своей основе идеальной структурой и даже больше, чем идеальной, так как оно наряду со всем прочим создает собою и эту идеальную структуру вещи, в то же самое время оказывается и максимально внешним результатом этой идеальной структуры, чем-то максимально жизненным, чем-то таким, что необходимо называть производственным осуществлением вещи. Поэтому даже если бы у Платона и не было учения об идеях, то одно учение о числах уже создавало бы у него цельную и продуманную эстетическую систему. Число есть самое внутреннее и самое внешнее в вещах, но оно же есть и полное тождество внутреннего и внешнего, неустанно бурлящее все новыми и новыми числовыми энергиями – формами. А это и значит, что числовое бытие у Платона есть прежде всего бытие эстетическое.

http://www.philosophy.ru/library/losef/losev_plato_number.html
az118: (Default)
Принцип классического золотого сечения:

Большая часть относится к целому как меньшая к большей

Естественно целое полагать 1, а большую часть обозначить φ.

Тогда меньшая часть равна 1-φ  и  золотой принцип примет вид

φ = (1-φ)/φ

откуда

φ + φ2 = 1

и φ = (√5 - 1)/2 = 0.6180... - предел отношения соседних членов ряда Фибоначчи:

F1 = 0, F2 = 1,  Fk+1 = Fk + Fk-1 

и  φ = lim Fk / Fk+1,  причем, по индукции  

F
k =
φFk+1 + (-φ) k = Fk-1 / φ + (-φ) k-2 =

= [φ2 + (-φ2) k] / [(φ2+1)φ k]

Как легко видеть,

φ k Fk + φ k-1 Fk+1 = 1

где φ k Fk = [φ2 + (-φ2) k] / (φ2+1)  стремится к

φ2 / (φ2+1) = 0,27639320...


Если частей больше двух, то получаем

Принцип обобщенного золотого сечения:

Наибольшая часть относится к целому как следующая за наибольшей к наибольшей,
и, в общем, как следующая к предыдущей в порядке убывания величин частей.


Попрежнему целое будем полагать 1, а наибольшую часть обозначим φm,
где  m  - число частей.

Тогда обобщенный золотой принцип примет вид

φm = φm2/φm = φm3/φm2 =...= (1 - φm - φm2 -...- φmm-1)/φmm-1

откуда

φm + φm2 +...+ φmm= 1

или

φmm+1 -2φm +1 = 0

φ1 = 1,  φ2 ≈ 0.618...,  φ3 ≈ 0.543...,  φ4 ≈ 0.519... и  т.д.

В пределе с ростом числа частей φm стремится к 1/2, являясь
пределом отношения соседних членов обобщенного ряда Фибоначчи:

F (m)1 =...= F (m)m-1 = 0, F (m)m = 1,  F (m)k+1 = F (m)k + F (m)k-1 +...+ F (m)k-m+1 

и φm = lim F (m)k / F (m)k+1

Нетрудно показать что

i=0...m-1  φmk-i j=0...i  F (m)k-j = 1

Части целого часто являются вертикальными уровнями иерархии бытия.


Приложение
Метод Ньютона


Корень уравнения f(x) = 0, где f(x) - монотонная функция,
легко найти методом касательных:

x' = x - f(x) / f'(x)

При  f(x) = x n+1- 2x +1 = 0

f'(x) = (n+1)x n- 2

и

x' = (nx n+1-1) / ((n+1)x n-2)

при начальном  x = 1/2   за 6-7 итераций достигается
точность 6 знаков после запятой.
az118: (Default)
История математики подобна истории национализма:
- примордиальная генеалогия пифагорейцев;
- статический идеализм этнографии;
- примордиальный интуиционизм романтизма;
- технократический конструктивизм либералов.

последнее - мерзость.
az118: (Default)
Вавилонскую математику трогать не будем.

Начнем с антично-эллинской, неотделимой от метафизики,
которая и есть математика.

Математика началась как пифогорейская метафизика порождения
и развертывания сущностей и сущего в их целостном бытии как
различных, но родственных природ, дополняющих друг друга.
Здесь сущности-природы суть и динамические процессы,
и фиксированные состояния оных процессов.

У Платона происходит отход от процессуального характера
сущностей и замене его на статуарные вечные идеи - образцы
для припоминания и копирования, вызванный стремлением
противостоять тотальному распаду остатков высокой архаики - эпохи
царского небесного Начала. Трагедия Платона в невозможности
в тогдашних условиях имеющимися средствами раскрыть подлинную
природу эйдоса как внутреннего энергийного потенциала рода,
который наследуют, а не копируют, т.е. внутренней активной,
а не внешней пассивной формы, пылящейся в трансцендентном
музее уже не нужных вещей. Ясно, что Платон - это не платонизм,
не буква, а дух, существенно возрожденный в неоплатонизме.

Еще при Пифагоре разразился первый, античный, кризис математики,
вызванный открытием несоизмеримости частей целого - иррациональных
чисел, которые тогда не могли быть включены в математику из-за
сложности вещественной арифметики.

Второй кризис математики наступил уже в начале нового времени,
в XVIII веке с введением бесконечно малых величин в механику Ньютона
и был якобы преодолен в последней трети сл.столетия созданием
матанализа.

До начала XX века математика по сути была псевдоплатонисткой
и аристотелевской одновременно, что нашло выражение в ТМ Кантора.

Третий кризис математики - кризис оснований, включая кризис теории множеств
и логики, вызвал стремление к пересмотру онтологического статуса математических
объектов и процедур, приведшему к выдвижению Брауэром интуитивизма с фактическим
неявным возвратом к процессальному пониманию природы мат.сущностей,
т.е. к пифогорейству, близкого даосизму.

Однако поскольку сама процессуальность может пониматься двумя противоположными
взамоисключающими способами, от интуитивизма, с его принципом "имманентного" порождения,
почти сразу отделился конструктивизм, в котором процесс - это процесс произведения объекта
"трансцендентным" ему актором.

В настоящее время все три типа математики перемешаны как и все в постмодерне.

Рационализм - исчисление порядков

az118: (Default)

Всякое вполне упорядоченное множество конечно или счетно.

Определим:
цепь
- синоним вполне упорядоченного множества;
ряд - конечная или изоморфная натуральному ряду цепь;
подцепь - непустое подмножество элементов цепи;
начальный элемент - элемент, не имеющий предыдущего.
подцепь начал цепи - подцепь ее начальных элементов.

Очевидно, что:

0. Все подцепи цепи имеют первый элемент по определению.

1. Цепь, каждый элемент которой, кроме первого, имеет предыдущий,
является рядом
и имеет только один начальный элемент - первый.

2. Мощность подцепи начал цепи не больше мощности цепи.
В частности, цепь ординала wnp+q имеет подцепь начал конечного
ординала p+1 при n=1 и счетного ординала wn-1p+1 при n > 1.
Подцепь начал конечной цепи имеет ординал и мощность 1.

3. Любой элемент цепи, кроме последнего, если он есть, имеет
следующий за ним элемент и между ними нет других элементов
.
В самом деле, пусть элемент x цепи A не последний и за ним нет
следующего элемента. Тогда между x и любым y>x есть другой
элемент и подцепь B = {yA: x<y} не имеет первого элемента
и, стало быть, A - не цепь.

4. Всякая цепь является суммой конечного или счетного числа рядов.
Действительно, цепь либо конечна, либо бесконечна. В последнем случае
она либо имеет начальные элементы, отличные от первого, либо не имеет.
Если нет: цепь - бесконечный ряд. Если да: пусть x и y - начальные элементы такие,
что x<y и между ними нет начальных элементов, поскольку y больше следующего 
за x элемента. Тогда полуинтервал [ x,y) - бесконечный ряд и x - элемент,
предыдущий y в подцепи начал.

Стало быть, у каждого не первого начального элемента есть предыдущий начальный
элемент и подцепь начал - конечный или бесконечный ряд, т.е. конечна или
счетна, а сама исходная цепь - сумма конечного или счетного числа
конечных  или счетных рядов
, первые элементы которых суть
ее начальные элементы,  и сама счетна.


Следствие:
несчетное множество не может быть цепью и неверна теорема либо Цермело,
либо Кантора, т.е., либо несчетные множества невозможно вполне упорядочить,
либо
несчетных множеств вообще не существует.


Дополнение

0. Все подцепи цепи имеют первый элемент по определению.
1. Каждый элемент кроме последнего имеет следующий элемент.
2. Каждый элемент кроме последнего является предыдущим некоторого ее элемента.
3. Не все элементы являются следующими других элементов.
4. Не все элементы имеют предыдущий элемент.
az118: (Default)
Каждому конечному подмножеству натурального ряда
соответствует семейство его бесконечных подмножеств из
кратных sN = {sk: k∈N} и степенных  sN = {sk: k∈N}, s∈N,
рядов, их линейных комбинаций, а также их дополнений,
объединений и пересечений, -- семейство, сопряженное
с данным конечным подмножеством.

Каждому подмножеству натурального ряда соответствует
дв.дробь из отрезка [0,1]: конечному подмножеству - конечная,
бесконечному - бесконечная или периодическая. Конечные
и периодические дв.дроби суть рациональные числа.
Бесконечная дробь - иррациональное число.

например, {1,2} соотв. дв.дробь 0,11 и рац.число 1/2+1/4=3/4,
а ряду {2,4,...,2k,...} -- дв.дробь 0,01010001... и иррац.число
1/4+1/16+1/256+....=0,31..., четному ряду {2,4,6,..,2k,...} -
0,010101... и 1/4+1/16+1/64+...=1/3.


Вопрос:
существуют ли бесконечные подмножества натурального ряда,
не входящие ни в одно из сопряженных с конечными
подмножествами семейств?
az118: (Default)
n(1,1) = 1
n(1,s+1) = n(1,s)+s = 1+s(s+1)/2, где s=1,2,....
n(p,s+1-p) = n(1,s)+p-1 = s(s-1)/2+p, где s=1,2,....; p=1,...,s.

или

n(p,q) = p+(p+q-1)(p+q-2)/2
 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15   n
1,1 1,2 2,1 1,3 2,2 3,1 1,4 2,3 3,2 4,1 1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 (p,q)
-2- ---3--- -----4----- -------5------- ---------6--------- --s--

az118: (Default)
Цепь над множеством - семейство его подмножеств,
линейно упорядоченных по отношению содержания.

Множество конечно, если, и только если, любая цепь над ним
имеет и максимальный, и минимальный элементы, т.е.
все цепи над ним ограничены снизу и сверху.

Конечное множество имеет определенную конечную мощность:
для любого конечного множества A справедливо |A| = |A| < |2A|
и для произвольного множества B  из  A ⊂ B  следует  |A| < |B|.

Множество бесконечно, если, и только если, некоторая цепь над ним
не имеет максимального или минимального элемента, т.е.
хотя бы одна цепь над ним не ограничена снизу или сверху.

Бесконечное множество не имеет определенной мощности:
для любого бесконечного множества A справедливо |A| ≈ |A| ≈ |2A|
и для произвольного множества B  из  A ⊂ B  следует  |A| ≈ |B|.

Посему теория трансфинитов - бред шизофреника.

October 2012

S M T W T F S
  12 3 4 5 6
7 89 1011 12 13
14 15 16 171819 20
21 22 2324 25 26 27
28 293031   

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 25th, 2017 04:35 am
Powered by Dreamwidth Studios