Feb. 5th, 2012

az118: (Default)
Пусть G  – группа,  a,b,cG  и  P,S ⊆ G

Тогда  aS={ax: xS },  PS={xy: xP, yS },  S-1={x-1: xS }. 

Если SS=S=S-1, то S  подгруппа группы G, причем для конечного S  достаточно условия SS=S.


Элемент сопряжен с элементом  cb=aba-1 посредством элемента a.
Элемент c=[a,b]=aba-1b-1=(ab)(ba)-1  называется коммутатором элементов a и b.
Коммутант  G'  группы G  –  подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы G..

Элемент самосопряжен относительно элемента a, если, и только если, [a,b]=1. 
Тогда  b=aba-1, элемент a самосопряжен относительно элемента b и элементы a и b коммутируют.

Элемент самосопряжен, если, и только если, он самосопряжен относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми ее элементами.

Множество сопряжено с множеством  PS=aSa-1 посредством элемента a.
Множество P=[a,S]=aSa-1S-1 называется коммутатором элемента a и множества S.

Множество самосопряжено относительно элемента a, если, и только если, aSa-1=S.
Тогда  множество коммутирует с элементом a в целом.

Множество самосопряжено, если, и только если, оно самосопряжено относительно всех элементов группы, т.е. коммутирует со всеми элементами в целом.


Нормализатор NG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S в целомNG(S)={xG: xS=Sx }={xG: xSx-1=S }. Ясно, что NG(S) подгруппа  группы G.  Множество S самосопряжено относительно своего нормализатора и любого его элемента.  Нормализатор подгруппы содержит ее.

Подгруппа H самосопряжена (нормальна) в G, если, и только если, NG(H)=G, или, иначе, xHx-1=H для любого xG. Любая подгруппа самосопряжена в своем нормализаторе. xyH=xyHH=xHyH  и H=HH=xHx-1H  для любых x,yG.


Централизатор ZG(S) множества S  – множество всех элементов группы G, коммутирующих с S поэлементноZG(S)={xG: xy=yx, yS }. Ясно, что ZG(S) подгруппа нормализатора NG(S). Каждый элемент множества S самосопряжен относительно своего централизатора и любого его элемента.  Централизатор элемента a  совпадает с его нормализатором: ZG(a)=NG(a). Нетрудно видеть, что ZG(S1S2)=ZG(S1)ZG(S2). В частности, если S={s1,s2,…,sn}, то ZG(S)=ZG(s1,s2,...,sn)=ZG(s1)ZG(s2)ZG(sn).

Центр Z(S) множества S  – множество всех элементов множества S, коммутирующих с S поэлементно. Ясно, что Z(S)=SZG(S)Центр подгруппы H – нормальная подгруппа подгруппы H  и ее централизатора. 

Подгруппа H абелева в G, если, и только если, Z(H)=H.
Группа G абелева, если, и только если, каждый ее элемент самосопряжен относительно всех элементов группы: Z(G)=G.


В общем, если H – подгруппа, то 

xHx-1  –  подгруппа, сопряженная с H,
|H| = |xHx-1|,  |b| = |xbx-1|,  |bc| = |b(cb)b-1| = |cb|,  


Z(H⊆ H ⊆ NG(H⊆ G,
Z(H⊆ ZG(H⊆ NG(H⊆ G,  
|G(G:NG(H))  (NG(H):H)  (H:Z(H))  |Z(H)| (G:NG(H))  (NG(H):ZG(H))  (ZG(H):Z(H))  |Z(H)|.


Теорема Кели

Всякая группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы SG.

В самом деле, выражение  bx =  при фиксированном  представляет собой автобиекцию группы G. Но автобиекции множества суть элементы  симметрической группы для этого множества. Стало быть, множество всех автобиекций группы G, порождаемых групповой композицией, равномощно множеству G и является подгруппой симметрической группы SG.


October 2012

S M T W T F S
  12 3 4 5 6
7 89 1011 12 13
14 15 16 171819 20
21 22 2324 25 26 27
28 293031   

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 20th, 2017 10:00 pm
Powered by Dreamwidth Studios